Trigonometria

A trigonometria pode ser usada para, por exemplo, estimar a distância
das estrelas e a distância entre divisas, e os campos que usam a
trigonometria envolvem a astronomia, a navegação, teoria musical,
óptica, eletrônica, biologia, entre muitos outros.

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Os triângulos semelhantes são aqueles que possuem ângulos correspondentes iguais, e o comprimento dos seus lados são proporcionais. Ao estudar trigonometria, sabemos que o maior lado de um triângulo é oposto ao maior ângulo, e o maior ângulo possível em um triângulo é o ângulo reto. O maior lado, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, conhecido como hipotenusa, e os outros lados são conhecidos como catetos.

Quando temos dois triângulos retângulos compartilhando um segundo ângulo A, estes serão necessariamente similares e a razão entre o comprimento do lado oposto a A e o comprimento da hipotenusa será o mesmo nos dois triângulos. O valor, entre 0 e 1, depende apenas de A, e é conhecido como seno de A, representado por senA.

Círculo trigonométrico

A trigonometria estuda a proporção entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo e os valores de um dos seus ângulos agudos. As proporções entre os lados são denominadas seno, cosseno, tangente e cotangente.

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O círculo trigonométrico, demonstrado na figura acima, é usado para facilitar a visualização das proporções. A circunferência, orientada de raio unitário, está centrada na origem dos dois eixos de um plano cartesiano ortogonal.

Seno

O seno é obtido pela razão entre o comprimento do cateto oposto à um ângulo e o comprimento da hipotenusa. Dentro do círculo trigonométrico, o seno pode ser visualizado na projeção de seu raio sobre o eixo vertical.

Cosseno

O cosseno de um dos 2 ângulos agudos de um triângulo retângulo é obtido por meio da razão entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa. Dentro do círculo trigonométrico, o cosseno é visualizado na projeção do raio do ângulo sobre o eixo horizontal.

Tangente

A tangente de um dos 2 ângulos agudos de um triângulo retângulo é obtida por meio da razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele. O valor da tangente é visualizado, dentro do círculo trigonométrico, na reta vertical que tangencia o círculo no ponto em que corta o eixo horizontal ao lado direito.

As relações

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Teorema de Pitágoras

O teorema estabelece que: “A soma do quadrado das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa”. Lembrando que catetos são os lados de um triângulo retângulo que formam seu ângulo de 90°, e hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90°.  Podemos representar com a seguinte fórmula, considerando que os catetos são a e b, e a hipotenusa é c:

c² = a² + b²

Estatística

Se você é capaz de dizer quantas pessoas moram em sua cidade, ou no seu bairro, é porque algum estatístico fez esse levantamento. Se você sabe suas chances de ganhar na Mega-sena, ou de o seu time vencer o campeonato, é porque análises estatísticas embasaram a obtenção desses dados. O mesmo vale quando você compara preços de produtos que ficaram mais caros.

O uso das estatísticas está intimamente ligado ao cotidiano das pessoas. Em época eleitoral, isso é mais notado. As pesquisas mostram qual o percentual de preferência de cada candidato, o índice de eleitores indecisos e aqueles que ainda não souberam ou não quiseram responder. Os exemplos de aplicações da estatística na vida não têm fim; uma simples tabela ou gráfico que você vê numa revista ou na TV envolve a estatística.

Mas o que muitos não sabem é que 29/05 é o Dia do Estatístico. O profissional deve ter curso superior em Estatística, além de dominar as áreas de matemática, cálculo e teoria das probabilidades, técnicas e métodos estatísticos.

A estatística como conhecemos atualmente (chamada Estatística Analítica) foi estabelecida em 1920. Como ciência, ela trabalha em duas frentes: no levantamento e organização de dados e na elaboração de hipóteses e projeções. No Brasil, o órgão governamental responsável pelas estatísticas é o IBGE, que colhe os dados sobre a situação social, econômica e demográfica do país, fornecendo os números à sociedade.

De acordo com a coordenadora geral do Conselho Regional de Estatística da 3ª Região, com sede em São Paulo(Conre), Doris Satie Fontes, para cada objetivo da pesquisa existe uma forma de fazer a amostragem. “Por exemplo, em uma pesquisa para saber se um determinado produto é eficiente, são colhidas informações do processo de fabricação, o horário de trabalho dos funcionários. O estatístico precisa estudar o objetivo, a situação do objeto, e daí elaborar um plano amostral viável”, explica.

Pesquisas

Em ano eleitoral, é comum abrir os jornais e se deparar com os números estatísticos dos candidatos. No Brasil, as pesquisas eleitorais são indicativas, e o Tribunal Superior Eleitoral recomenda o uso dos dados de distribuição do IBGE (idade, sexo, renda e educação) no cálculo da amostragem.

Mas, como confiar nas pesquisas eleitorais? Segundo o Conre de São Paulo, quando dois candidatos têm pouca margem de diferença em suas colocações é mais complicado apontar o vencedor do pleito.“O que acontece no Brasil é a polarização de candidaturas. Quando os dois candidatos estão muito próximos é difícil saber quem vai ganhar”, disse Doris, acrescentando que, depois de toda eleição, seria interessante fazer um estudo relacionando a última pesquisa feita antes do pleito com o resultado obtido. “Isso vai fazer com que se verifique se o resultado caiu no intervalo de confiança que a empresa divulgou para quem contratou a pesquisa”, pontua.

Para perceber se uma entrevista é falsa é preciso ficar atento ao tipo de questionamentos. No país, a pesquisa eleitoral é feita de duas maneiras: espontânea e estimulada. Na primeira, os nomes dos candidatos não aparecem. Já na segunda, os nomes são apresentados, mas fora de ordem.

Dessa forma a pesquisa passa a ser idônea. “Há várias formas de induzir o eleitor a optar por um determinado candidato. Se o pesquisador fala bem de um determinado candidato antes de fazer a pergunta principal já é uma forma de induzir a resposta do entrevistado. Para a pesquisa não ser falsa, as perguntas devem ser transparentes”, pontua Doris.

Por que nunca fui entrevistado(a)?

Em ano de eleição, são as pesquisas de intenção de voto que orientam estratégias dos partidos e determinam os rumos que serão adotados durante as campanhas políticas. Para isso, várias técnicas amostrais podem ser utilizadas em pesquisas eleitorais.

Nos levantamentos nacionais ou estaduais, em geral os grandes institutos trabalham da seguinte forma: num primeiro estágio, são sorteados ou escolhidos os municípios que farão parte do levantamento; depois, os bairros e pontos onde serão aplicadas as entrevistas. Por fim, os entrevistados são selecionados aleatoriamente de acordo com o sexo, faixa etária e grau de instrução (obtidos junto ao IBGE).

Mas muitas pessoas se perguntam por que não participaram das entrevistas. De acordo com o Ibope e Datafolha (principiais institutos de pesquisas), os estudos têm amostras médias de 2.500 entrevistas e no país há mais de 127 milhões de eleitores, segundo o TSE. Assim, em um levantamento nacional, apenas um eleitor em cada grupo de aproximadamente 50 mil é entrevistado.

Números positivos e números negativos

Temperatura: Usamos números positivos e negativos para marcar a temperatura. Se a temperatura estiver em 20 graus acima de zero, podemos representá-la por +20 (vinte positivo) . Se marcar 10 graus abaixo de zero, essa temperatura é representada por -10 (dez negativo).

Conta bancária: é comum a expressão saldo negativo. Quando retiramos (débito) um valor superior ao nosso crédito em uma conta bancária, passamos a ter saldo negativo.

Nível de altitude: quando estamos acima do nível do mar, estamos em uma elevação (altitude positiva). Quando estamos abaixo do nível do mar, estamos numa depressão (altidude negativa).

Fuso horário: Se a abertura de uma Copa do Mundo estiver ocorrendo às 12 horas em Londres, voce estará assistindo a essa cerimônia transmitida ao vivo, pela televisão, em horário diferente. Se você estiver em São Paulo, será às 9 horas. Em Tóquio, será às 21 horas do mesmo dia.

Isso ocorre de acordo com a localização de cada cidade em relação a uma referência (nesse caso, Londres), considerada o ponto zero.

Aplicabilidades do Logaritmo

Note que o logaritmo nada mais é que o número que serve de expoente.

Calcular o logaritmo de um número consiste em descobrir qual é este número que servirá de expoente à base para obtermos o  número dado.

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução: 
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)^t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035

t = ?

M = C * (1 + i)^t

3500 = 500 * (1 + 0,035)^t

3500/500 = 1,035^t

1,035^t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035^t = log 7

t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica)

t * 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451 / 0,0149

t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0

População após um ano = P0 * (1,03) = P1

População após dois anos = P0 * (1,03)² = P2

População após x anos = P0 * (1,03)^x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0

P0 * (1,03)^x = 2 * P0

1,03^x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03^x = log 2

x * log 1,03 = log2

x * 0,0128 = 0,3010

x = 0,3010 / 0,0128

x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

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Arranjo

•Fórmula Matemática

A _n,p =      n!           

             (n – p)! 

Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos.

Exemplo:Considerando o conjunto dos algarismos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Quantos números de três algarismos distintos podemos formar?

Explicação:

Devemos fazer a seguinte pergunta:

A ordem dessas informações irá mudar a situação???SIM ou NÃO??

Para isso vamos criar um números com 3 algarismos do conjunto dado:

356  (note se eu inverter os algarismos,eu irei mudar o número)

Assim:653   (SIM , a ordem importa,então você irá resolver o problema com a fórmula do Arranjo.)

Combinação

•Fórmula Matemática

C _n,p =        n!          

             p! (n – p)!

Combinação é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza,ou seja,a ordemNÃO irá mudar uma situação.

Um exemplo é o jogo da MEGA SENA.Vamos supor que um apostador faça o seguinte jogo:

(07 - 33 - 39 - 47 - 51 - 53) se invertermos a ordem das 6 dezenas do apostador,o jogo NÃO muda,logo podemos calcular o cálculo das possibilidades de um jogador ganhar com 6 dezenas.

DICA:

•ARRANJO: SIM, a ordem muda a situação.

•COMBINAÇÃO: Se invertermos a ordem,a situação NÃO muda.

Dança matemática: as funções e os seus respectivos gráficos.

Matemática Básica - Aula 13 - Frações (parte 1)

 Calcular potências quadradas

Pitágoras descobriu que n2${\displaystyle n^2}$ é igual a soma dos n${\displaystyle n}$ primeiros números naturais ímpares. Repara:

32=1+3+5=9${\displaystyle 3^2=1+3+5=9}$

42=1+3+5+7=16${\displaystyle 4^2=1+3+5+7=16}$

52=1+3+5+7+9=25${\displaystyle 5^2=1+3+5+7+9=2}$5

2=1+3+5+7+9=25